170岁“高龄”了 孪生素数猜想还未得到证明

来源:未知    作者:      2019-10-24 17:52

导语:

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孪生素数被认为是数史上的经典难题,也是诸多著名数学猜想之一。在1900年的国际数学家大会上,数学家希尔伯特提出了23个有待解决的重要数学难题和猜想,他把黎曼猜想、孪生素数猜想与哥德巴赫猜想等一起列入了这23个数学问题中的第八问题。

近日,美国哥伦比亚大学的数学家威尔·萨文(Will Sawin)和威斯康星大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼(Mark Shusterma)在预印本平台arXiv上发布了一个证明,如果该证明被确认无误,将为孪生素数猜想的研究提供一种新的有益借鉴。该证明是在一个被称为有限域的框架上来探讨孪生素数猜想的相似版本。有限域上的函数域被认为拥有许多与数域类似的算术性质。

什么是孪生素数猜想?数论学家们都有哪些不同的验证思路?有人说解决孪生素数问题,就会给攻克哥德巴赫猜想带来很大的希望,这是为什么?

数论史上的经典难题

素数是指只能被自身和1整除的正整数。在古希腊时期,人们就开始关注素数这类自然数中最基本而又神秘的“元素”。

欧几里德论证的素数无穷命题可谓人们对素数分布的最初认识。而素数之神秘,根本上在于它们局部分布的不规律。对素数在自然数中分布的研究,便成了十分重要而又极具挑战性的课题。

两个相差为2的素数即“孪生素数对”,例如(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)等。100以内有8对孪生素数,501到600间只有两对。素数对的间距为4,则两个素数被称为堂表素数对, 间距为6的两个素数被称为性感素数对,而中间没有其他素数的两个素数则称为相邻素数对。

 着数的变大,可以观察到的孪生素数越来越稀疏,会不会有一天再也找不到新的孪生素数对呢?有数学家猜想,存在无穷多个素数p,使得p与p+2同为素数。这就是孪生素数猜想。

孪生素数被认为是数论史上的经典难题,也是诸多著名数学猜想之一。来自中科院的数论研究员对科技日报记者表示:“孪生素数猜想是一个很漂亮的猜想。”在1900年的国际数学家大会上,数学家希尔伯特提出了23个有待解决的重要数学难题和猜想,他把黎曼猜想、孪生素数猜想与哥德巴赫猜想等一起列入了这23个数学问题中的第八问题。

“弱形式”是否成立还不知道

证明孪生素数猜想有多难呢?人们甚至不知道它的“弱形式”是否成立。

自1849年法国数学家波林那克提出孪生素数猜想后,在接下来的160多年里,数学家在这一方面几乎没能取得突破性进展。直到2013年,此前籍籍无名的数学讲师张益唐打开了一扇通往孪生素数的窗。

他的解决方案或许可以称为“退而求其次”。既然证明有无穷多个差值为2的素数如此困难,那么是否可以证明差值为7000万的素数有无穷多个?

张益唐证明了这一点——存在无穷多个素数之差小于7000万的素数对。这是数学家首次证明了弱版本的孪生素数猜想。张益唐在不依赖未经证明的结论的前提下,得出这一结果,使得孪生素数猜想研究前进了一大步。凭借这项研究,张益唐斩获了2014年美国数学学会柯尔数论奖,并获得2014年麦克阿瑟天才奖。

“张益唐把大海捞针的力气活缩短到在水塘里捞针,而他给出的方法还可以把水塘捞针轻松变为游泳池里捞针。也许最后变成在碗里捞针还需要一些再创新的工作,但给出了这一伟大框架已经是让全世界数学家瞠目结舌的壮举了。”中国科学院院士汤涛说。

有人打了一个比方,张益唐所做的工作,相当于1920年挪威的布朗证明了“9+9”,由此开启了数学界对证明哥德巴赫猜想的追寻。接下来,科学家们陆续证明了“7+7”“6+6”,直到46年后,陈景润证明了“1+2”。有学者表示,证明“1+2”离证明“1+1”还有很远的距离,想把素数对之差为7000万缩小到2,似乎更是遥不可及。

一石激起千层浪。尽管从2到7000万还存在一段很大距离,张益唐的研究依然被视作一个“重要的里程碑”。在2013年接下来的几年里,包括数学天才陶哲轩在内的数学家一直致力于缩减这个素数差值,目前的最好结果是246。

是否有从246缩减到2的那一天?无人知晓,但数学家们仍在不断接近孪生素数猜想的最终版本。

与哥德巴赫猜想面临同样瓶颈

关于孪生素数猜想,数论学家们还有哪些不同的验证思路?

据悉,除了张益唐等人给出的有界间距素数对这样的结果以外,目前对于孪生素数猜想的(1,2)版本证明方法有两种。第一种是把陈景润的方法平行照搬过来;第二种是解析数论专家亨里克·伊万涅茨 (Henryk Iwaniec)通过Rosser-Iwaniec筛法途径导出的证明。郭胜表示,该证明的关键是通过波动形式的谱理论能够给出一类克卢斯特曼和(Kloosterman sum)的好的上界,由此可以较好地处理由Rosser-Iwaniec筛法产生的形式极为灵活的余项,解决了这一困难就相应能够扩大筛法的水平。

长期以来,在筛法中有一个难以克服的障碍,名为“奇偶原则”或“奇偶障碍”。菲尔兹奖、沃尔夫奖得主,已故数论大师阿特勒·塞尔伯格教授在他的“筛法讲义”中阐述了他提出“奇偶原则”的缘由及他在这方面的一些思考。而在两位解析数论大家约翰·弗里德兰德和亨里克·伊万涅茨的巨著《筛法》一书中亦对“奇偶原则”进行了一些解读。

本文开头提到的那两位美国数学家在他们于arxiv平台上发布的论文中宣称,他们证明了孪生素数猜想的函数域版本即Chowla猜想。他们希冀通过证明这一猜想来绕过“奇偶障碍”。然而一般认为,这一猜想本身难度与对应版本的孪生素数问题相当。截止到本文发布日期,主流数论学界暂未对该结果产生大的涟漪。证明的准确性还有待证实,有学者表示对此抱以审慎的态度。

有人说解决孪生素数问题,就会攻克哥德巴赫猜想。事实上,数论界有一个共识,无论从问题的形式、方法以及已有的一些结果来看,孪生素数猜想和哥德巴赫猜想所需要的技术以及面临的困难都有很强的相似性。也即是说,解决其中一个问题的方法或许有助于形成解决另一个问题的思路。

“目前,哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的最终解决都遇到很大瓶颈。”有学者表示,“孪生素数已有的最好结果是证明到246。如果没有新的创新,无法将差值缩小到孪生素数猜想所需要的极致:2。而哥德巴赫猜想目前最好的结果也就是陈氏定理,距离‘1+1’还有较远的距离。”

值得一提的是,不同于应用数学,纯数学研究不需要预先持有任何特定的实用目的。张益唐认为他的结果没有实用价值。这不禁让人想起1940年时数学家哈代写道的:数学是最质朴和最冷峻的艺术和科学。他坚信数学要有精确的审美观,一个数学证明应该像简单而轮廓分明的星座,而不是银河系中杂乱无章的星群。